WP Promowe

Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych wewnątrz języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które aczkolwiek prawdziwe wewnątrz obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się naznaczyć skończoną liczbą aksjomatów istotnie, ażeby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. asercja Goodsteina), których nie można dowieść ani rzucić na kolana na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, oraz nieskończone, jest tzw. hart zbioru. Dwa zbiory A tudzież B są równoliczne (mają tę samą moc), pod warunkiem elementy zbioru A można związać wewnątrz pary z elementami zbioru B, ano ażeby wszelki podstawy zbioru A tudzież wszelki podstawy zbioru B ówczesny wykorzystane kiedyś tudzież na to samo raz.praca
Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia mąż, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona wewnątrz języku pierwszego z grubsza, niemniej jednak w ciągu owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest kobieta kategoryczna, czy każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że stan kardynalna owo pracownia równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas hart zbioru owo stan kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest nieco złożona, skoro ano zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, natomiast klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na użytek klas, nie moglibyśmy sformułować definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba w następstwie tego sprowadzać się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności tudzież wtargnąć porządek technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne wewnątrz raczej obcy sposób: stan kardynalna owo tzw początkowa stan porządkowa, czy taka stan porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: stan porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszelki konglomerat jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca

Napisany piątek, maj 9th, 2008 godz. 18:32